Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor
(1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan
adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak
maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus
mempunyai kesamaan sifat/karakter.
-
Penulisan
Macam-macam himpunan
Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga
cara, yakni :
·
Dengan
kalimat. Contoh : Himpunan semua bilangan yang habis dibagi lima
·
Dengan cara
mendaftar. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di
dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma.
Sebagai contoh himpunan N = { merah, biru, kuning } menyatakan himpunan semua warna
primer.
·
Dengan
notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah N =
{ a | a adalah
satu dari warna primer }. Tanda garis tegak “|” dapat diganti dengan
tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam
buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah tanda tegak “| ”.
Masing-masing cara dalam
menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya
kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit
anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis
himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar
semuanya. Sebagai contoh himpunan semua
Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.
-
Diagram Venn
( 2 )
Diagram venn adalah cara lain untuk
menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama
kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).
Contoh :
-
Operasi
Antar Himpunan
1. Gabungan (union)
Adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota-anggota himpunan asal.
Notasi : A È B =
{ x |x Î A atau x Î B }
Contoh :
(i) Jika A = { 1, 2,
3, 8 } dan B = { 7, 5, 2 }, maka A È B =
{ 1, 2, 3, 5, 7, 8 }
(ii) A È Æ = A
2. Irisan (Interseksi)
Adalah himpunan yang
anggota-anggotanya merupakan anggota-anggota kedua himpunan sekaligus.
Notasi : A Ç B =
{ x |x Î A dan x Î B }
Contoh :
(i) Jika A = {2, 4, 6, 8,
10} dan B = {2, 8, 14, 16}, maka A Ç B =
{2, 8}
(ii) Jika A = { 1, 3, 5 }
dan B = { 2, 4, 6, 8 }, maka A Ç B =
Æ . Artinya: A // B
3. Selisih (Minus) A – B
Adalah
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A tetapi tidak menjadi
anggota B.
Notasi : A – B =
{ x |x Î A dan x Ï B }
= A Ç
Contoh : (i)
Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 4,
6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 }
dan B – A = Æ
(ii) {1, 2, 4} – {1, 5, 3} = {2, 4}, tetapi
{1, 5, 3} – {1, 2, 4} = {3, 5}
4. Komplemen (complement)
Komplemen dari himpunan A terhadap suatu
himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : = { x |x Î
U dan x Ï A }
Contoh :
Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },
(i) jika A = {1, 2, 6, 8},
maka = {3, 4, 5, 7, 9}
(ii) jika A = { x | x/2
Î P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
-
Macam-macam
Himpunan (3)
No
|
Nama
|
Keterangan
|
Contoh
|
1
|
Himp. Berhingga
|
adalah
suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.
|
U =
{bilangan genap habis dibagi 10} atau U = {10,20,30,40}.
Himpunan U jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah. |
2
|
Himp. Tak Hingga
|
adalah suatu himpunan yang jumlah
anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.
|
Contohnya:
X= {bilangan prima}, L= {bilangan riil}
|
3
|
Himp. Kosong
|
adalah
suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong
dilambangkan dengan tanda {}.
|
Contohnya
B = {bilangan prima antara 5 dan 7}. ditulis B={}={0}.
|
4
|
Himp. Sama
|
adalah himpunan yang anggotanya sama
|
contohnya
N= {2,4,8} Y={2,4,8} N=Y
|
5
|
Himp. Semesta
|
adalah himpunan dari semua unsur yang
sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan
ditulis dengan huruf S.
|
contohnya:
M = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa: S = {bilangan prima} S = {bilangan cacah} S = {bilangan ganjil kurang dari 10} |
6
|
Himp. Bilangan Cacah
|
adalah himpunan bilangan yang anggotanya
dimulai dari nol dan seterusnya
|
contoh H = {0,1,2,3,4,5}
|
7
|
Himp. Bagian
|
adalah apabila setiap unsur dalam himpunan
B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
|
contohnya Y
= {n,a,l} U = {n,i,a,l,f}
jadi Y bagian dari U.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. |
8
|
Himp. Lepas
|
adalah
ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
|
Contohnya A
= {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota
persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah
unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A =
{a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.
|
9
|
Himp. Bil. Asli
|
adalah himpunan bilangan yang anggotanya
dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
|
Contohnya D
= {1,2,3,4,...}
|
10
|
Himp. Bil. Genap
|
adalah himpunan yang anggotanya dimulai
dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
|
contohnya S
= {2,4,6,8,10}
|
11
|
Himp. Bil. Ganjil
|
himpunan yang anggota bilanganya tidak
habis dibagi dua .
|
contohnya L
= {11,13,15,17}
|
12
|
Himp. Bil. Prima
|
adalah himpunan bilangan yang anggotanya
semua bilangan yang memiliki dua faktor
|
contohnya Y = {2,3,5,7}
|
13
|
Himp. Kuadrat Bil. Cacah
|
adalah himpunan bilangan cacah yang
anggotanya dipangkatkan dua.
|
Contohnya U
= {0^2,1^2,3^2)
|
-
Hubungan
Antara Himpunan dan Diagram Venn (4)
Diagram venn adalah suatu diagram
yang dapat menggambarkan keterkaitan atau hubungan logis antara beberapa
himpunan. Jika Anda telah memahami tentang diagram venn dengan baik, Anda dapat
mempelajari operasi himpunan dan mengaplikasikan Diagram Venn dalam pemecahan
soal tentang operasi himpunan tersebut.
Contoh :
-
Pengertian
bilangan bulat dan riil (5)
Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan
dalam bentuk desimal. Bilangan ini terdiri dari bilangan rasional dan bilangan
irrasional. Bilangan real, umumnya disimbolkan dengan lambang R.
Contoh: 72,4322 ; 2,308 ; 24,19
Bilangan Bulat merupakan bilangan
yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. dilambangkan dengan simbol
Z. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu : 0,6,7,8,9,… sehingga negatif dari bilangan
cacah yaitu -6,-7,-8,-9,… dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi
secara terpisah.
Sumber :
